где, как видите, у него есть два коммента.
Первый — от будущей восьмиклассницы, цитирую
“Можете объяснить как ответ получился? Я перешла в восьмой класс просто на рандомный ответ тыкнула и угадала а хочу знать как реально решать☺️” (прикреплённая картинка № 2), на который я ответил постом следующего содержания (также представлен на прикреплённой картинке № 3)
длина вектора по определению это квадратный корень из “•”-произведения вектора на самого себя,
предположив что базисные векторы перпендикулярны друг другу (𝐢•𝐣 = 0) и оба длиной единица (𝐢•𝐢 = 𝐣•𝐣 = 1), имеем
𝐚 = 6𝐢 + 8𝐣 = 2(3𝐢 + 4𝐣),
𝐚•𝐚 = 2·2(3𝐢 + 4𝐣)•(3𝐢 + 4𝐣)
= 2²(3𝐢•3𝐢 + 2·3·4(𝐢•𝐣) + 4𝐣•4𝐣)
= 2²(3² + 4²),
искомая длина ‖𝐚‖ вектора 𝐚
‖𝐚‖ ≡ √(𝐚•𝐚) = 2√(3² + 4²) = 2√5² = 2·5 = 10
после чего Трушин меня в чяте канала забанил, удалил мой этот пост, а вместо него добавил свой ответ, в котором послал посмотреть свой ролик
вопрос же таков :
чем же ему так не понравился мой ответ, почему он меня забанил❓
“
Борис Трушин (преподаватель математики и видеоблогер) в своём телеграм-канале представил задачу "Найдите длину вектора a=(6;8) с вариантами ответа," под которым был написан комментарий :
"Можете объяснить как ответ получился? Я перешла в восьмой класс просто на рандомный ответ тыкнула и угадала а хочу знать как реально решать☺️" и я ответил на него :
"длина вектора по определению это квадратный корень из “•”-произведения вектора на самого себя,
предположив что базисные векторы перпендикулярны друг другу (𝐢•𝐣 = 0) и оба длиной единица (𝐢•𝐢 = 𝐣•𝐣 = 1), имеем
𝐚 = 6𝐢 + 8𝐣 = 2(3𝐢 + 4𝐣),
𝐚•𝐚 = 2·2(3𝐢 + 4𝐣)•(3𝐢 + 4𝐣)
= 2²(3𝐢•3𝐢 + 2·3·4(𝐢•𝐣) + 4𝐣•4𝐣)
= 2²(3² + 4²),
искомая длина ‖𝐚‖ вектора 𝐚
‖𝐚‖ ≡ √(𝐚•𝐚) = 2√(3² + 4²) = 2√5² = 2·5 = 10"
— а теперь вопрос : почему за это сообщение Борис Трушин меня забанил на своём канале
”
https://share.google/aimode/ENJDPThU3GtURnNqR
он ответил “да, конечно” и далее как на прикреплённой картинке
вопрос о том, как вычислять "длину" вектора, зависит от того, как эта длина в данном вектором пространстве определена. формально, это дополнительная структура к структуре векторного пространства
так я же явно написал эту метрическую структуру, вот тут
>предположив что базисные векторы перпендикулярны друг другу (𝐢•𝐣 = 0) и оба длиной единица (𝐢•𝐢 = 𝐣•𝐣 = 1)
>сущности определяются через инструменты, их измеряющие
Так да, 1 километр — это такое расстояние, которое за одно изменение цифры часов на часах на единицу (при равных минутах и секундах на тех же абсолютных часах) проходит объект, на спидометре которого постоянно 1 км/ч. А у вас разве какое-то другое определение того, что такое километр?
Нет, 1км это расстояние, которое проходит свет в вакууме за 1000/c секунд
> чем же ему так не понравился мой ответ, почему он меня забанил❓
Чтобы выложить свой пост с ответом, очевидно же. Ты отбираешь у него просмотры. Ты конкурент.
>>127908
>спросил у электронного интеллекта
Лол. То есть ты настолько аутист, что не смог понять очевиднейший экономический мотив Трушина, и побежал спрашивать у искусственного идиота, что в твоём посте не так? Ещё и начал придумывать объяснения, что в школе векторы как-то не так преподают? Смешно, уж извини.
Дружище, ты, кажется, совсем запылился от своей матеши. Выйди на улицу, подыши свежим воздухом, почитай какую-нибудь художественную книгу, чтоб таких проблем больше не было.
Когда слишком много ботаешь, эмоциональный интеллект действительно может снижаться…
🙄 твоё определение от моего отличается лишь тем, что у твоего на спидометре постоянно не 1 км/с, но c м/с, и твои абсолютные часы считают не часы, а секунды
Моё определение отличается тем, что задаётся через фундаментальную константу
>Чтобы выложить свой пост с ответом, очевидно же. Ты отбираешь у него просмотры. Ты конкурент.
1646 просмотров (👀 прикреплённый снимок экрана) у этого ролика “векторы это ерунда, просто теорема Пифагора”— много бы из этих 1646 он потерял, оставив мой коммент (просто добавив свой) и не баня меня?
>не смог понять очевиднейший экономический мотив
нисколько не очевиден, там и полкопейки не получится, к тому же я минусую ему карму за отношение к векторам как к говну, измеряемому совершенно прямой линейкой
за пропаганду школьникам отношения к векторам как к говну
пофикшено
>>127926
>>127909
Чет с ору со всего этого. Самый рофельный тред за долгое время.
Трушин забанил за верный ответ.
ИИ насрал подходами разными.
>>127916
Тоже первая мысль такая была. Теперь мне это кажется чем-то бессмысленным. Типа зачем банить? Толку-то.
>чем же ему так не понравился мой ответ
Насколько я помню он аналист фунцкионнальй, а у тебя длина определяется через гоняк: скалярное произведение, а не из метрики. Возможно это.
Наверняка в школьной программе длина вектора в R^2 дается по определению как евклидова норма, то есть комментарий про базис и и скалярное произведение это лишние детали.
можн, но думаю если отступать от школьной псевдоматематики, преподаваемой по единому, утверждённому единоединственнейшей партией вечнонесменяемейшего властелина, стандарту, то он забанит и тебя тоже
А минусы в чём? Это естественный путь, с помощью чего-то неопределенного, но "интуитивно понятного" определить нечто, а потом с помощью этого нечто определить то самое определенное, перевернуть цепочку.
Например та же касательная к графику так определяется. Ты представляешь себе касательную, причём строго её не определяя, находишь её угловой коэффициент, и затем, уже через lim dy/dx определяешь саму касательную. Но изначально у тебя никакого строгого определения касательной не было, но ты им пользовался.
Со скалярным произведением так же. Есть координатная плоскость. Определяешь длину с помощью Пифагора. Дальше проблема с углами, но вспоминаешь, что углы можно связать с длинами с помощью тригонометрии, и имеешь cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) = (ac + bd)/|u||v|.
Затем смотришь на свойства cos(a-b)|u||v|, это билинейная положительно определенная форма. И уже её можно во главу угла поставить и определить углы и длины через неё. Без всей подготовительной "грязной" работы с "линейками" и "транспортирами" все эти скалярные произведения выглядят out of thin air. Такое кстати любят программисты и жрут причмокивая, например не зная ни одного примера естественного преобразования лезут в категории.
сначала нужно давать строгое определение, а потом можно пояснять мотивацию и рассказывать примеры.
не наоборот
Почему? Обратный способ от примеров к определением он более естественный, так открытия и делаются, ни у кого изначально нет строгих определений.
Ну и как ты школьникам, например, объяснишь что такое длина? Тебе им придётся рассказать хотя бы о мере Жордана, иначе все твои бульки про корни из целых, про пи, они будут стоять ни на чём.
>Тебе им придётся рассказать хотя бы о мере Жордана
Ясно)))
>так открытия и делаются
тебе надо не сделать открытие, а передать уже готовое знание
Да, Жордан оверкилл. Но всё равно придется прыгать выше головы, потому что дефолтное определение как "сколько раз укладывается единичный отрезок и доли от него" не работает для иррациональных длин, придется прибегать к пределу. Можно опять же это преодолеть легко, пользуясь интуитивными представлениями о пределе, но это так же не будет строгое определение. К этому ещё нужно добавить построение R.
>>128112
Знание прекрасно передается и в том виде что я пропагандирую. Ты наверняка ведь сам в "грязи" извалялся, перед тем как о скалярном произведении узнал. Меня вот как раз учили от общих определений к частным примерам, "скалярное произведение := B(u,v), B билинейно и B(u,u) >= 0, равенство только в случае u = 0" я услышал до "скалярное произведение := |u||v|cos(a)", и это только убивало мотивацию и затрудняло изучение.
Определение, а затем примеры, хороши для справочника, но не для учебника.
>Знание прекрасно передается и в том виде что я пропагандирую.
нет.
>Ты наверняка ведь сам в "грязи" извалялся
я лично ничего не понимал - ни скалярного произведения, ни дифференциала, ничего - пока не начал во всех деталях штудировать строгие определения, начиная с теории множеств (единственное, где наивный подход ещё как-то оправдан). с тех пор все эти "интуиции", "нестрогие определения" и тому подобное я люто бешено ненавижу.
не можешь опрделить скалярное определение абстрактно - определи строго на R^n. но строго.
К строгим определениям должны быть наводящие соображения. И должны они быть перед определениями. Арнольд так и делал, например, и писал лучшие учебники по темам в которых шарил. Схему "определение - примеры" оставь методичкам провинциальных университетов.
пиши "наводящие соображения" сколько хочешь. желательно так, чтобы строгое определение среди них не потерялось и было не в самом конце, раз уж в начале ты не хочешь. читать книги Арнольда невозможно, я не знаю, за что их хвалят. наверно, просто тянут из авторитета
нет, Винберг хороший
в большей части книги он так и рассказывает: сначала определение, затем - ряд примеров (ясных и многочисленных). в частности, всё что, касается билинейных форм и евклидовых пространств (скалярного произведение), у него изложено именно так - я посмотрел
Ну, в общем, да. Я больше к тому, что в каких-то случаях мотивация перед определением выглядит как минимум не плохо
Я не тот анон, с которым ты споришь, если что
Ну то есть если бы тебе, в классе 8, когда ты не умеешь вычислять длину вектора по координатам теормой пифагора, подошёл бы оп, и сказал строго
: скалярное произведение это положительная билинейная форма b(u,v), а |v|^2 = b(v,v)
то ты бы овтетил что всё збс всё понятно?
пусть будет перед определением, я возражать не стану. но важно, чтобы настоящее строгая формулировка при этом не поетрялась, а было ясна сформулирована и достаточно разъяснена. потому что это главное в математическом тексте
>>128126
давай перейдём от слов к делу, и ты на любой степени неформальном нестрогом уровне, пользуясь любыми интуициями и мотивациями, какими хочешь, объяснишь, что такое скалярное определение.
>объяснишь, что такое скалярное определение
Я выше объяснил в двух словах. Более развернуто я бы сделал так: нарисовал координатную плоскость, нарисовал вектор, нарисовал его координаты.
Дальше сказал, что представим, что мы можем работать только с координатами. Вектор это просто пара чисел (x, y). Тогда эта пара чисел "теряет" всю геометрию, для пары чисел нет понятия длины, для двух пар чисел (x, y), (x', y') нет понятия "угла" между ними. Да между парами чисел и векторами на плоскости есть соответствие, но это разные объекты. В обратную сторону это тоже работает, например можно назвать пару (x, y) чётной, если x и y чётные, но для векторов, как геометрических объектов, как "стрелочек" на плоскости, это понятие отсутствует.
Потому неплохо бы определить для пар чисел эти понятия, так, чтобы они согласовывались с геометрическими представлениями. Чтобы мы могли говорить о геометрии "на языке алгебры". Если мы возьмём пару чисел (x, y), то мы можем однозначно сопоставить им вектор v на плоскости. Из теоремы Пифагора находим, что |v| = sqrt(x^2 + y^2), тогда естественно для пары чисел определить их длину как
|(x, y)| := sqrt(x^2 + y^2)
Теперь углы между векторами. Для начала можно найти углы между вектором и осью OX. arg(v) = arccos(x/|v|), но можно взять любую тригонометрическую функцию, но почему лучше всего брать косинус будет ясно дальше. Тогда
t = arg((x, y)) = arccos(x / |(x,y)|). Но видно, что для практики лучше работать не с углом, а с косинусом/синусом/тангенсом этого угла
cos(t) = x / |(x,y)|
Теперь можно вспомнить, что cos(a-b) = cosacosb + sinasinb, тогда косинус угла между (x,y), (x',y') равен
cos(a-b) = (xx' + yy') / |(x,y)||(x',y')|, отсюда
(!)cos(a-b)|(x,y)||(x',y')| = xx' + yy'
тогда угол между парами чисел := arccos(xx' + yy'). Дальше я бы объяснил, что мы можем менять координатные оси, что вектора от этого не меняются, меняются только их координаты. Тогда слева в формуле (!) стоит операция над векторами, и она бескоординатная, как не меняй координаты, длина векторов и угол между ними останется постоянным, тогда обзовём её скалярным умножением.
u.v = cos(a-b)|u||v|, нужно отметить, что результат не вектор, а скаляр.
легко вывести, что она дистрибутивна u.(v+w) = u.v + u.w. Вдобавок
u.u = |u|^2
cos(a-b) = u.v. / (u.u) (v.v)
это всё легко перенести на координатную запись, потому что в (!) у нас задано скалярное произведение для пар чисел. Тут можно рассказать, почему удобно взять косинус. Если бы мы взяли синус, то нам пришлось бы следить за порядком множителей, произведение было бы не коммутативным, т.к. cos(a-b) = cos(b-a) = cos(-(a-b)), но sin(a-b) = -sin(-(a-b)) = sin(b-a). Если мы хотим знать "угол между векторами" то естественно результат у нас должен не зависеть от порядка, тк угол не меняется.
Мы видим, что и длину, и углы, мы можем выразить через скалярное произведение. Тогда можно сказать, что пусть оно будет изначально задано, пусть у нас есть гигантская таблица u.v(помним что результат скаляр) для всех пар векторов, тогда и длину и угол между векторами мы сможем из неё определить. Тогда абстрактное векторное пространство мы можем наделить геометрией, длинами и углами между векторами, для этого нужно его снабдить билинейной положительно определенной формой B(u,v). Это более "фундаментальная" функция, чем если бы мы задали отдельно функцию длины(v) и углов(u,v).
это хорошая попытка, но у слушателя могут появиться вопросы
>Более развернуто я бы сделал так: нарисовал координатную плоскость, нарисовал вектор, нарисовал его координаты.
>Дальше сказал, что представим, что мы можем работать только с координатами.
что значит "мы можем работать только с координатами"? а с картинками больше не можем? ты же только что всё нарисовал. нам партия запретила?
>Вектор это просто пара чисел (x, y). Тогда эта пара чисел "теряет" всю геометрию, для пары чисел нет понятия длины, для двух пар чисел (x, y), (x', y') нет понятия "угла" между ними.
что значит теряет? а до этого где было? возьму и определю угол, теперь есть понятие угла. непонятно
>Да между парами чисел и векторами на плоскости есть соответствие, но это разные объекты.
между ними есть взаимно-однозначное соответствие, что в них тогда разного? всё, что можно сказать про одни, можно сказать и про другие. непонятно
>например можно назвать пару (x, y) чётной, если x и y чётные
зачем пару называть чётной? x и у даже не натуральные числа. какая-то совсем ерунда
>но для векторов, как геометрических объектов, как "стрелочек" на плоскости, это понятие отсутствует.
назову вектор чётным, если соответствующая пара чисел состоит из чётных натуральных чисел
..
на самом деле весь этот параграф выше - это твоя полная отсебятина. в нём нет ровно ничего объективно содержательного, кроме твоих собственных привычных лично тебе ассоциаций. его не нужно произносить вообще
..
>Если мы возьмём пару чисел (x, y), то мы можем однозначно сопоставить им вектор v на плоскости. Из теоремы Пифагора находим, что |v| = sqrt(x^2 + y^2), тогда естественно для пары чисел определить их длину как |(x, y)| := sqrt(x^2 + y^2)
если у тебя нет длины, то непонятно, что такое теорема Пифагора. а если длина у тебя есть, то это не определение - это вычисление: теорема Пифагора вычисляет длину вектора, отвечающего паре $(x,y)$. непонятно, что ты хочешь здесь сказать
>Для начала можно найти углы между вектором и осью OX. arg(v) = arccos(x/|v|),
опять же, это вычисление - ты нашёл свой угол, а не определил
>но можно взять любую тригонометрическую функцию,
в смысле взять? вместо arccos взять? ты разрешаешь мне написать, скажем, arg(v) = ctg^2(x/|v|) ?
>но почему лучше всего брать косинус будет ясно дальше.
на самом деле это безобразная фраза и её лучше избегать. ты намеренно оставляешь в изложении приличный такой пробел в надежде, что его будет легко закрыть потом, а сейчас, будто бы, он ни на что не влияет. но он влияет: выше же ты сказал, что можно брать "любую тригонометрическую функцию"
>Но видно, что для практики лучше работать не с углом, а с косинусом/синусом/тангенсом этого угла
как это видно? для какой практики? ничего не видно. непонятно
>Теперь можно вспомнить, что cos(a-b) = cosacosb + sinasinb, тогда косинус угла между (x,y), (x',y') равен
>cos(a-b) = (xx' + yy') / |(x,y)||(x',y')|, отсюда
>(!)cos(a-b)|(x,y)||(x',y')| = xx' + yy'
что такое a и b? ты уже сам путаешься в обозначениях
>тогда угол между парами чисел := arccos(xx' + yy').
ок, вычислили (модули потерялись, правда, но спишем это на излюшнюю ясность изложения). однако, как и выше, это не определение. это вычисление
>Дальше я бы объяснил, что мы можем менять координатные оси, что вектора от этого не меняются, меняются только их координаты. Тогда слева в формуле (!) стоит операция над векторами, и она бескоординатная, как не меняй координаты, длина векторов и угол между ними останется постоянным, тогда обзовём её скалярным умножением.
>u.v = cos(a-b)|u||v|, нужно отметить, что результат не вектор, а скаляр.
почему не назвать скалярным умножением формулу $u \dot v = \sqrt{|\cos^3(a-2\frac{b}{a-999})|}\frac{\tan^8(a)}{1+\sin^3(b)}(|u|-|v|)$?
её тоже можно вычислить через координаты. непонятно
>легко вывести, что она дистрибутивна u.(v+w) = u.v + u.w. Вдобавок
>u.u = |u|^2
>cos(a-b) = u.v. / (u.u) (v.v)
ну и что?
>Тут можно рассказать, почему удобно взять косинус. Если бы мы взяли синус, то нам пришлось бы следить за порядком множителей, произведение было бы не коммутативным
если бы мы его взяли где именно? косинус у тебя появился в формуле "arg(v) = arccos(x/|v|)", и он там появился не потому что ты его "взял", а потому что формула "arccos(x/|v|)" действительно вычисляет угол между вектором и осью абцисс (в гуманиторном представлении об этих понятиях). если бы у тебя там был arcsin, а не arccos, то это бы не был привычный гуманитарный "угол", только и всего. совершенно непонятно, чем косинус "лучше"
>Мы видим, что и длину, и углы, мы можем выразить через скалярное произведение.
опять же, мало ли какие ещё формулы можно придумать, из которых они выразятся. ну и что?
>Тогда можно сказать, что пусть оно будет изначально задано, пусть у нас есть гигантская таблица u.v(помним что результат скаляр) для всех пар векторов,
что значит "оно будет изначально задано"? что такое "оно"? выше ты определил скалярное определение как конкретное выржение. теперь ты подразумеваешь произвольную функцию $\mathbb R^2 \to \mathbb R$? непонятно
>Тогда абстрактное векторное пространство мы можем наделить геометрией, длинами и углами между векторами, для этого нужно его снабдить билинейной положительно определенной формой B(u,v). Это более "фундаментальная" функция, чем если бы мы задали отдельно функцию длины(v) и углов(u,v).
а у нас, оказывается, есть абстрактные векторные пространства? и есть билинейные формы? почему тогда не начали сразу с них? скажем, "назовём билнейную форму с такими свойствами скалярным проивздением... теорема: существует такой базис ортонормированный, в котором скалярное произведение выражается через координаты следующим образом..." и дальше все эти твои Пифагоры и углы (только без отсебятины). всё красиво и понятно.
Я начал по пунктам отвечать, но потом понял, что придирки всё тупее и тупее, вплоть до опечаток. Например
>в смысле взять? вместо arccos взять? ты разрешаешь мне написать, скажем, arg(v) = ctg^2(x/|v|) ?
Понятно же, что нужно будет и в скобках формулу поменять.
>что такое a и b? ты уже сам путаешься в обозначениях
Я не учебник пишу, а на двоще отвечаю. Мне кажется не трудно догадаться, что a, b это аргументы, i.e. a := угол между (x, y) и OX, b := угол между (x', y') и OX; Тогда (a-b) угол между ними.
>это вычисление
Ты можешь определять вещи через их вычисление. Например ты можешь определить угол как величину отношения adjacent/h, а не как кусок дуги, а его величину длиной этой дуги. Единственное препятствие почему так не делают, потому что складывать углы становится неудобно. Как пример я ещё в первом сообщение приводил касательную прямую. Нет никакого определения касательной к кривой, тебе дают метод её вычисления, и результат уже называют касательной. Тригонометрические функции тоже определяют вычислительно, как отношение сторон, как координаты на единичной окружности, или как ряд.
Модули проебались очевидная опечатка. Ты тот анон, что к определению топологии в одном известном учебнике придерался?
>почему не назвать скалярным умножением формулу...
Вопрос уровня почему возведение в степень не назвали операцию a^b := (a+b)/sqrt(1/a + 1/2b)
>совершенно непонятно, чем косинус "лучше"
Потому что cos(t) = cos(-t), а синус нет. Ты в самом начале изложения за угол можешь взять arcsin(y/|v|), но на этапе раскрытия формулы sin(a-b), если призадуматься, то можно догадаться, что лучше взять косинус, потому что нам становится не важен порядок. Он и не должен быть важен, задача вычислить угол, функция дай-мне-наименьший-угол-между-векторами(u,v) наверное должна быть симметричной, не думаешь?
>опять же, мало ли какие ещё формулы можно придумать, из которых они выразятся. ну и что?
В школьном контексте это позволяет используя координаты решать геометрические задачи, а не городить лес из подобных треугольничков.
>что значит "оно будет изначально задано"?
Последний абзац уже для студентов. Есть векторные пространства, но это просто, грубо говоря, множества букв без смысла, у них нет геометрии. Потому нужно "нечто", что "геометризует" пространство. И мы это нечто срисовываем с школьного скалярного произведения, а не достаем out of thin air, как ты предлагаешь. Потому что оно в своих терминах позволят задать длины и углы.
>а у нас, оказывается, есть абстрактные векторные пространства? и есть билинейные формы?
Естественно для школьников дальше |u||v|cos(t) = xx' + yy' я рассказывать не стал. Это к слову, откуда эта форма вообще взялась.
>почему тогда не начали сразу с них? скажем, "назовём билнейную форму с такими свойствами скалярным проивздением...
Потому что непонятно, как такое определение могло в голову придти. Почему-то оно не пришло в голову ни Декарту, ни Ньютону, ни Гаусу, ни Галуа, ни Лагранжу, ни Кэли, а лишь Клиффорду, после того как он долгое время изучал Грассмана, Гамильтона и Римана.
бтв предлагаю тебе определить скалярное произведение через построение алгебры клиффорда и затем взятии (uv + vu) / 2, всё чинно строго. Саму алгебру определить через квадратичную форму.
>Мне кажется
Здесь нужно процитировать золотые, бессмертные слова поэта: "Ему кажется... А мне не кажется"
Кажущаяся тупость доёбок идёт от того, что мы хотим говорить формально. Да, это не учебник, но если уж ты решился определять строго – будь любезен соответствовать
мимо
>Я начал по пунктам отвечать, но потом понял, что придирки всё тупее и тупее
мои вопросы - это не придирки, а вопросы по существу
>Понятно же, что нужно будет и в скобках формулу поменять.
как это понятно? ты в первом ответе пишешь, цитирую:
>arg(v) = arccos(x/|v|), но можно взять любую тригонометрическую функцию
здесь на "тригонометрическую функцию" похож только arccos, значит, ты разрешаешь вместо него написать другую функцию? иначе что значит "можно взять"?
для arg(v) это было определение или утверждение? если второе, то следовало бы говорить иначе: ты бы мог сказать "arg(v) можно выразить и по-другому". тогда было бы совершенно ясно (интуитивно предполагается, что arg(v) уже определён).
>Я не учебник пишу, а на двоще отвечаю.
хорошо, пусть так. просто ты написал такой большой ответ, и меня немного обескуражило, что всё равно приходится догадываться, что имеется в виду
>Ты можешь определять вещи через их вычисление
хорошо, пусть формулы |v| = sqrt(x^2 + y^2) и arg(v) = arccos(x/|v|) будут определениями. почему определять надо именно так, а не иначе, не ясно совсем, но пусть
>Вопрос уровня почему возведение в степень не назвали операцию a^b := (a+b)/sqrt(1/a + 1/2b)
нет, это совершенно другой вопрос. в случае с возведением в степень мы знаем, что мы хотим определить: скажем, понятие для $a^b$ в случае натуральных чисел совершенно ясно и формулируется даже без каких-либо формул вообще: "перемножить $a$ само на себя $b$ раз"; о том, что хотелось бы иметь в общем случае, уже можно рассуждать
в твоём же случае, что именно ты хочешь определить, неясно совсем: ты никак не пояснил, что такое скалярное произведение само по себе (даже в частных случапях), чтобы стали видны хоть какие-то разумные ограничения относительно того, на что его определение должно быть похоже. где-то ниже ты пишешь, что скалярное произведение нужно, чтобы ввести длины и углы, но к указанной формуле u.v = cos(a-b)|u||v| это замечание не подводит вообще никак (не говоря о том, что и длины, и углы можно опредлять иначе). ты просто даёшь эту формулу и всё: мол, вот определение! а почему не другая формула? непонятно
>Потому что cos(t) = cos(-t), а синус не
возьми |sin(t)|, делов-то.
>Ты в самом начале изложения за угол можешь взять arcsin(y/|v|), но на этапе раскрытия формулы sin(a-b), если призадуматься, то можно догадаться, что лучше взять косинус, потому что нам становится не важен порядок.
нет, нельзя догадаться. плохое объяснение, если оно опирается на "можно догадаться". и потом, о каком порядке идёт речь? скажем, вот формула: $u \cdot v = |u||v||\sin(\alpha)|$. как здесь с этим порядком?
>В школьном контексте это позволяет используя координаты решать геометрические задачи, а не городить лес из подобных треугольничков.
справедливости ради, в этом контексте сам термин "скалярное произведение" совершенно лишний. формула
>(!)cos(a-b)|(x,y)||(x',y')| = xx' + yy'
очень хорошая, и ты её честно доказал, но зачем плодить сущности? но если уж мы хотим объяснить, что такое скалярное произведение, ссылкой на подобные треугольники никак не обойдёшься
>Последний абзац уже для студентов.
сложно понять, что ты предполагаешь известным, а что нет. нехорошо
>И мы это нечто срисовываем с школьного скалярного произведения
я не понимаю, как это делаешь ты
т.е. ты можешь сказать: мол, вот, легко доказывается, что на R^2
>(!)cos(a-b)|(x,y)||(x',y')| = xx' + yy'
ок, и что дальше? к чему были все эти рассказы про косинус лучше синуса и теорему Пифагора?
>Потому что непонятно, как такое определение могло в голову придти. Почему-то оно не пришло в голову ни Декарту, ни Ньютону, ни Гаусу, ни Галуа, ни Лагранжу, ни Кэли, а лишь Клиффорду, после того как он долгое время изучал Грассмана, Гамильтона и Римана.
я честно не знаю, как это определение появилось. а ты знаешь? из твоего рассказа выше я его так и не увидел. Клиффорд до него дошёл именно так? это, конечно, очень интересно, но рассказ уже о другом получается
Как Клиффорд до него дошёл я не знаю. В своей книге common sense of exact sciences, он определяет два произведения векторов, одно что-то вроде внешнего, другое обычное школьное скалярное. Мотивировку я не помню, но помню что она была не очень и очень короткая. Открывать и перечитывать мне лень.
>ок, и что дальше? к чему были все эти рассказы про косинус лучше синуса и теорему Пифагора?
Дальше ты например можешь проверить, что в пространтсве cos(t)|u||v| = xx' + yy' + zz', доказывается элементарно с помощью теоремы косинусов. И, очевидно, эту ситуацию можно обобщить, введя это произведение для всех R^n, а затем и для всех V, выведя из прошлых примеров какие свойства должны выполняться и определить по свойствам.
Например для линейных отображений делается аналогично. Для R to R школьная прямая y = kx. Для R^2 to R плоскость z = kx + ly. Для R^2 to R^2
x' = kx + ly
y' = mx + ny
и тд.
Можно сначала не знать про линейные отображения. На практике функции нам придется аппроксимировать подобными функциями, которые проще, они просто домножают каждую координату на число, легко обобщить на случай R^n to R^m. Для векторных пространств опять же это определение не особо подходит. Тогда экстрагируем свойства из примеров, что такие элементарные отображения линейны по каждому аргументу. И уже это определение берем для векторных пространств.
>возьми |sin(t)|, делов-то.
Можно такой вариант рассматривать параллельно. Но впоследствии выяснится, что модуль ломает дистрибутивность/линейность дальше. Если u.v = |sin(t)uv|, то u.(v+w) != u.v + u.w. Потому такой вариант следует отбросить.
>в твоём же случае, что именно ты хочешь определить, неясно совсем
Я хочу, имея лишь координаты векторов на руках, найти угол между ними. Можно конечно взять миллиметровку и нарисовать на ней соответствующие векторы, а затем измерить угол транспортиром. Но это слишком накладно и неточно. Ради этого я, держа в голове, что эти числа это координаты векторов, переношу, определяю для них геометрические понятия. И постепенно прихожу к формуле (!). И оказывается, что уже эта формула, побочная вещь, оказывается полезной.
>почему определять надо именно так, а не иначе, не ясно совсем, но пусть
Я не понимаю, что тебе не ясно. Я тебе скажу, что я на доске нарисовал координатные оси, единица = метр и вектор (3,4), попрошу его длину найти. Ты воспользуешься Пифагором, или будешь чертить, или чертить в уменьшенном масштабе, а затем мерить линейкой?
>мои вопросы - это не придирки, а вопросы по существу
Нет, придирки.
>Как Клиффорд до него дошёл я не знаю.
может, тогда и не надо спекулировать на тему того, что и как Клиффорду в голову пришло? ты можешь пофантазировать на тему того, как оно могло бы придти в голову тебе, но это уже не так занимательно, как про Клиффорда, сорри
>Дальше ты например можешь проверить, что в пространтсве cos(t)|u||v| = xx' + yy' + zz', доказывается элементарно с помощью теоремы косинусов. И, очевидно, эту ситуацию можно обобщить, введя это произведение для всех R^n
ну допустим. а причём здесь рассуждения про то, как косинус лучше синуса, дистрибутивность, порядок и прочее?
>выведя из прошлых примеров какие свойства должны выполняться и определить по свойствам.
какие свойства должны выполняться? вообще про свойства, что "должны выполняться", нигде выше ты не писал. а какие не дожны?
>Но впоследствии выяснится
опять ссылки на будущее. а без этого никак? ты же обещал ясную и полную мотивацию
>Потому такой вариант следует отбросить.
с чего вдруг? а зачем нужны эти линейность/дистрибутивность? что в них такого фундаментального, что без них нельзя? более того, на комплексном пространстве линейности уже нет, и ничего, жизнь идёт. выходит, не так уж она и нужна, линейность?
>Я хочу, имея лишь координаты векторов на руках, найти угол между ними.
так ты же написал уже формулу. зачем тогда все эти рассказы про то косинус, линейность, и т.д.?
>Можно конечно взять миллиметровку и нарисовать на ней соответствующие векторы, а затем измерить угол транспортиром. Но это слишком накладно и неточно.
нарисуй дугу окружности и вычисли интеграл. раз норма вектора у тебя есть (миллимитровка же имеется), значит, и дугу окружности можно посчитать. всё будет абсолютно точно и без дополнительных сущностей, таких как скалярного произведения. зачем же его определять? и без него всё находится
>И постепенно прихожу к формуле (!)
ну пришёл, здорово. а причём здесь скалярное произведение? ты к этой формуле пришёл безо всяких произведений
>Я не понимаю, что тебе не ясно.
непонятно, почему ты закрепляешь формулы |v| = sqrt(x^2 + y^2) и arg(v) = arccos(x/|v|) как определения, а мысль о других определениях решительно отвергаешь.
странно говорить "определим длину по формуле |v| = sqrt(x^2 + y^2), потому что это теорема Пифагора", поскольку если есть теорема Пифагора, то длина уже определена; а если длины нет, то и теоремы Пифагора нет. эту фразу нельзя понять ни на интуитивном уровне, ни на каком другом, потому что это бессмыслица
но даже если эти формулы закрепить в виде определений, неясно, почему скалярное произведение должно быть именно u.v = cos(a-b)|u||v|. смысл у этой формулы какой? что она линейная и там есть косинус, на который тебе смотреть приятнее? это ты объявляешь естественной мотивацией?
>странно говорить "определим длину по формуле |v| = sqrt(x^2 + y^2), потому что это теорема Пифагора", поскольку если есть теорема Пифагора, то длина уже определена; а если длины нет, то и теоремы Пифагора нет. эту фразу нельзя понять ни на интуитивном уровне, ни на каком другом, потому что это бессмыслица
Кроме шуток, это буквально порочный круг в рамках вашего обсуждения, не надо так
мимо
А ты можешь читать сначала сообщение полностью, а лишь потом предъявлять претензии?
>а причём здесь рассуждения про то, как косинус лучше синуса
Я ниже написал, что теряется дистрибутивность.
>с чего вдруг? а зачем нужны эти линейность/дистрибутивность?
Наверное лучше взять удобную вещь, чем неудобную?
>так ты же написал уже формулу. зачем тогда все эти рассказы про то косинус, линейность, и т.д.?
Чтобы понять откуда эта формула появилась. Если она такая простая, чего ты её сам не придумал, а прочитал у Винберга?
>непонятно, почему ты закрепляешь формулы
Мысленно другие формулы подставь. У меня нет ни места ни желания писать:
мы можем определить arg(v) = arccos(x/|v|), arg(v) = arcsin(y/|v|), arg(v) = atg(y/x), arg(v) = actg(x/y), и так для каждого шага. Я думаю это понятно из контекста, потому что я пишу, что можно использовать др. триг. формулы, но в конце-концов косинус окажется удобнее.
>поскольку если есть теорема Пифагора, то длина уже определена; а если длины нет, то и теоремы Пифагора нет.
Мы как бы на школьном уровне, где длина это то что можно измерить линейкой. Уже потом, для веткорных пространств ты задаешь форму и определяешь через неё длину.
И я уже тебе несколько раз эту схему пояснял. Сначала берешь что-то интуитивное, определяешь с помощью этого строго нечто Х, а затем разворачиваешь цепочку, и уже через Х определяешь то самое интуитивное.
Я тебе пример с касательной привел несколько. С площадью так же, тебе никто строго площадь не определяет, пользуются интуитивными представлениями, вводя интегральные суммы. И уже затем говорят, что площадь это предел интегральной суммы. Сам предел тоже вводят исходя из интуиции.
С фундаментальными группами так же, нет никакого определения "дырки", но тебе говорят, вот есть тор и сфера, они отличаются дыркой, это видно на рисунке, в голове в воображении, но строгого определения нет. Затем предлагают, как их различать, рисуя петли, показывать что где-то они стягиваются, а где-то нет, опять же чисто на картинке. И затем строго вводят петли, классы их эквивалентности, структуру группы, и вуаля, у нас есть набор строгих определений, позволяющих отличить сферу от тора.
Если требовать сначала определения, а лишь потом шевелиться, ну тогда математики никакой и не было бы.
>почему скалярное произведение должно быть именно u.v = cos(a-b)|u||v|
Мы хотели определить углы зная лишь координаты, по пути получили эту формулу, получили сами последовательно рассуждая, а не прочитав определение, она имеет простое геом. истолкование, она имеет простое координатное истолкование, она позволяет без напряга вычислять углы и длины. У неё удобные свойства, в отличии от если использовать вместо cos: |sin|, |tg| и пр.
Да, правда, нахуя она нужна, давайте забудем о ней. Об умножении натуральных тоже предлагаю забыть, ведь можно просто складывать.
>А ты можешь читать сначала сообщение полностью, а лишь потом предъявлять претензии?
нет, оно слишком большое. поэтому я читаю и задаю вопросы по ходу дела. и я не думаю, что это плохо: мы же хотим добиться ясности, а хорошее изложение должно быть ясно в любом месте
>Наверное лучше взять удобную вещь, чем неудобную?
это принципиально не так. когда на вопрос "почему" ты отвечаешь "потому что так удобно", ты не проясняешь сути явления, про которое ты говоришь, ты ничего про него не объясняешь. что значит удобно? а мне вот отсутствие дистрибутивности и линейнойсти совершенно не мешает, так зачем мне твои конструкции? я буду измерять углы интегралом, без всякого произведения вообще, и всё будет чудесно
но на самом деле чудесно будет не всё.
из твоего рассказа вообще непонятно, почему скалярное произведение должно быть и почему оно должно быть именно такое. удобно - это не ответ, это ерунда. нам повезло, что оно удобно. в комплексном случае, я ещё раз напомню про этот пример, скалярное произведение внезапно не билинейная форма. почему? ведь это удобно?
>Чтобы понять откуда эта формула появилась.
твой рассказ, если сократить, звучит примерно так: "определение u.v = cos(a-b)|u||v| хорошее, потому что правая часть линейна, дистрибутивна, содержит косинус (лучше синуса), а ещё она выражается через координаты". ты действительно хочешь меня убедить, что этого достаточно? понимание наступило?
>мы можем определить arg(v) = arccos(x/|v|), arg(v) = arcsin(y/|v|), arg(v) = atg(y/x), arg(v) = actg(x/y), и так для каждого шага
я никак не пойму, мы говорим про определение или про утверждение? уже третий раз этот вопрос. если мы говорим про определение, почему нельзя принципиально другие формулы? если про утверждение, почему ты настаиваешь на формулировках "можно взять", "можем определить" и т.д.? должно быть изначально недвусмысленно ясно, что ты считаешь известным (пусть даже интуитивно), а что можно требует определения. я здесь понять тебя не могу
>Мы как бы на школьном уровне
всё-таки очень важно, чтобы было изначально недвусмысленно ясно, что ты считаешь известным (пусть даже интуитивно), а что можно требует определения
>И я уже тебе несколько раз эту схему пояснял. Сначала берешь что-то интуитивное, определяешь с помощью этого строго нечто Х, а затем разворачиваешь цепочку, и уже через Х определяешь то самое интуитивное.
это замечательно, только во-первых, у тебя плохо получается (много неясных мест), во-вторых, каким образом это что-то проясняет? а что если Х твоя получится чепухой, которая работает только в одном частном случае? почему она вдруг не чепуха? почему, скажем, углы не измеряют с поомощью интеграла на нормированных пространствах? только не надо про удобство
>Я тебе пример с касательной привел несколько.
не надо мне других примеров. мы конкретный вопрос обсуждаем
>Мы хотели определить углы зная лишь координаты, по пути получили эту формулу
формулу u.v = cos(a-b)|u||v| ты не получил. ты определил левую часть таким образом. не надо путать определение и утверждение. истолковать её у тебя не получилось, только "удобно"
>твой рассказ, если сократить, звучит примерно так: определение u.v = cos(a-b)|u||v| хорошее потому что...
Мы вообще о разном говорим. Я о том, как получить формулу, ты о том, насколько она хороша.
Школьник открывает учебник по геометрии, видит формулу u.v = cos(t)|u||v| или B(u,v) с такими свойствами... естественный вопрос, как эту формулу получили, почему она именно такая. Я тебе представил схему рассуждения, как её получить. Так же что есть альтернативы, но у них хуже свойства, что только для косинуса есть дистрибутивность. Требовать её естественно, тк хотелось бы, что еси v разбить на сумму других векторов, например базисных w + w', результат u.v не менялся = u.(w+w').
>из твоего рассказа вообще непонятно, почему скалярное произведение должно быть и почему оно должно быть именно такое.
Моя цель не определить скалярное произведение, а углы получить из координат. Скалярное произведение просто удобная формула, появляющаяся на этом пути, и впоследствии она оказывается полезной.
>это не ответ, это ерунда. нам повезло, что оно удобно
Ну да, повезло, пользуемся везением и едем дальше, в чём проблема?
>в комплексном случае, я ещё раз напомню про этот пример, скалярное произведение внезапно не билинейная форма. почему? ведь это удобно?
Потому что появляются аномалии из-за мнимой единицы, такие как ненулевые вектора с длиной 0. Например (1,i).(1,i) = 1 + i^2 = 0. Теряем "интуитивно понятное" свойство положительной определенности формы.
Потому, чтобы вычисления совпадали с интуицией, скалярное произведение следует модифицировать.
>только не надо про удобство
Удобство как раз решает и фильтрует неадекватные варианты. Иначе вся математика превратилась бы в координатный ад, или евклидову геометрию. overwhelming варианты нужно выкидывать и не вспоминать.
>Мы вообще о разном говорим. Я о том, как получить формулу, ты о том, насколько она хороша.
о, нет, не о разном: это я пытаюсь понять, что ты пишешь. прости меня, что твоё объяснение для меня не так понятно, как ты обещал. однако эту формулу ты не получил, ты её взял, пояснив выбор большей частью именно тем, что она хороша (линейна, дистрибутивна, лучше для практики, будет ясно дальше и т.д.). именно в твоём изложении это не разное, а одно и то же
>естественный вопрос, как эту формулу получили, почему она именно такая. Я тебе представил схему рассуждения, как её получить.
получил - это когда других вариантов нет. а ты меня убеждаешь, что они есть, просто не так хороши:
>есть альтернативы, но у них хуже свойства
готов обосновать это утверждение? альтернативы есть?
пример выше: рассмотрим формулу
$u \cdot v = |u||v||\sin(\alpha)|$
ты мне сказал, цитата:
>Но впоследствии выяснится, что модуль ломает дистрибутивность/линейность дальше. Если u.v = |sin(t)uv|, то u.(v+w) != u.v + u.w. Потому такой вариант следует отбросить.
но отбросить, внезапно, следует не поэтому. дело в том, что синус брать нельзя и для этого есть серьёзная причина. если ты подумаешь немного, ты сообразишь какая; важно, однако, что ты её сразу не назвал (интуиция поломалась). линейность - чёрт с ней: в комплексном случае линейности нет и никто о ней не сожалеет
или другой пример, который ты усиленно игнорируешь: давай я удовлетворюсь тем, что в моём пространстве есть только длины (норма), а угол буду вычислять как длину дуги единичной окружности через интеграл. что здесь не так? с обычным углом по транспортиру такое определение отлично согласуется
>Потому что появляются аномалии из-за мнимой единицы, такие как ненулевые вектора с длиной 0.
это правильно. только дело уже не в интуиции, а в строгом определении длины. например, есть псевдоевклидовы пространства (такие как пространство Минковского), в которых это разрешается.
>Потому, чтобы вычисления совпадали с интуицией, скалярное произведение следует модифицировать.
хочется предложить тебе модифицировать интуитивную формулу u.v = cos(t)|u||v| для комплексного пространства, чтобы она по-прежнему совпадала с "интуицией"
>Удобство как раз решает и фильтрует неадекватные варианты.
мой первый вопрос был о том, чтобы ты объяснил, что такое скалярное произведение.
ты написал довольно большой, но весьма неясный текст (в котором даже непонятно, что зафиксировано, а в чём есть выбор), сводящийся к тому, что, мол, скалярное произведение это такое алгебраическое выражение, из которого удобно считать углы через координаты, удобно даже и определить угол, если очень хочется.
но чтобы считать углы через координаты, достаточно просто формулы (которую ты прямо получил через косинус суммы), про скалярное произведение можно и не говорить...
а чтобы определить углы... см. выше мои примеры
>однако эту формулу ты не получил, ты её взял
Можешь ты перечитываешь то самое сообщение, и покажешь, где я её взял? Я её не предпологал заранее известной, она постепенно вырисовывалась и вконце-концов появилась благодаря косинусу суммы.
>готов обосновать это утверждение? альтернативы есть?
Проще всего координаты и геометрическую муть связать с помощью триг. функций. Из триг. функций косинус самый подходящий.
>что синус брать нельзя и для этого есть серьёзная причина
Просвети. Только давай без "измерения сонаправленности", ортогональности и пр. подобного. Тут самая большая бяка не синус, а модуль. Например, не в каждом поле ты его можешь "естественно" определить.
>а угол буду вычислять как длину дуги единичной окружности через интеграл.
a = (34, 47), b = (28, 58), вычисли угол. Бтв тебе для параметризации пригодится угол, а ты собираешься их задавать интегрированием. Ты собираешься определить А используя А. Думаю очевидно, что у тебя ничего не выйдет.
>хочется предложить тебе модифицировать интуитивную формулу u.v = cos(t)|u||v| для комплексного пространства, чтобы она по-прежнему совпадала с "интуицией"
Самая очевидная проблема, ломающая интуицию, это что улетает положительная определенность, как я давал пример в предыдущем сообщении.
(a+bi).(a+bi) = a^2 + b^2i^2 = a^2 - b^2, вместо a^2 + b^2. Можно заметить, что результат это Re(z^2), и вспомнить, что zz = |z|^2 = a^2 + b^2 >= 0;
(a+bi).(c+di) := (a+bi) x (c+di)
Геометрическую формулу cos(t)|u||v| модифицировать чуть сложнее. Но можно вспомнить показательную, или тригонометрические запись числа.
(a+bi).(c+di) = ... =|u||v|e^i(a-b)
>но чтобы считать углы через координаты, достаточно просто формулы (которую ты прямо получил через косинус суммы), про скалярное произведение можно и не говорить...
Я избавился от знаменателя и получил формулу, связывающее нетривиальную операцию над векторами в геом. смысле с их координатной формой. Как ты a + a + a заменяешь на 3a, я заменяю |u||v|cos(t) на u.v
>покажешь, где я её взял?
там, где ты её написал.
>она постепенно вырисовывалась и вконце-концов появилась благодаря косинусу суммы.
она у тебя вырисовывалась и появилась исходя из предпосылок вида "так хочется", "так удобно" и "потом будет ясно, что так лучше". это не рассуждение, это рукамахание
>Проще всего координаты и геометрическую муть связать с помощью триг. функций. Из триг. функций косинус самый подходящий.
я спросил тебя - альтернативы есть? попробуй не полениться и написать что-нибудь, пусть не проще, а сложнее. и посмотри, что получится. просто ради любопытства
только не с определением что получится, типа линейность потеряется, а с самими длинами и углами - на определение вообще-то наплевать (ты сам легко отказался от линейности в комплексном случае..)
>Просвети.
да, ты начал лениться
ок: дело в том, что если ты возьмёшь синус, у тебя не станет длин. ни интуитивных, никаких. вообще
>Тут самая большая бяка не синус, а модуль. Например, не в каждом поле ты его можешь "естественно" определить.
нет, с модулем никакой проблемы нет. поле здесь не при чём
>Бтв тебе для параметризации пригодится угол, а ты собираешься их задавать интегрированием. Ты собираешься определить А используя А. Думаю очевидно, что у тебя ничего не выйдет.
плохо ты думаешь. зафиксирую базис, запишу параметризацию дуги в координатах, докажу, что от выбора базиса интеграл не зависит - и вот у меня корректное определение. в случае R^n совпадает с обычным. интуитивно тоже хорошо: угол равен дуге единичной окружности. и ведь здесь я полностью провёл твою схему:
>Сначала берешь что-то интуитивное, определяешь с помощью этого строго нечто Х, а затем разворачиваешь цепочку, и уже через Х определяешь то самое интуитивное
но внезапно так почему-то не делают. думаешь, из-за боязни интегралов? да, интеграл, зато не зависит от дополнительной структуры, только от нормы. неплохо, а? канонические конструкции на дороге не валяются, чтобы их так просто выкидывать
>Геометрическую формулу cos(t)|u||v| модифицировать чуть сложнее. Но можно вспомнить показательную, или тригонометрические запись числа. (a+bi).(c+di) = ... =|u||v|e^i(a-b)
не знаю, по-моему, у тебя не получилось модифицировать.
>Я избавился от знаменателя и получил формулу, связывающее нетривиальную операцию над векторами в геом. смысле с их координатной формой.
нет, ты получил формулу, а затем (или до, не помню), одну из её частей назвал "нетривиальной операцией". почему бы не получить другую совершенно формулу и не назвать её часть точно так же, ты объясняешь ссылками на "удобство" и "интуицию", как будто это что-то объясняет
>она у тебя вырисовывалась и появилась исходя из предпосылок вида "так хочется", "так удобно" и "потом будет ясно, что так лучше". это не рассуждение, это рукамахание
Ещё раз. Я хочу найти углы и длины из координат. Длину нашёл Пифагором, углы нашёл косинусом суммы. Можно вместо косинуса взять что угодно, но теряется коммутативность или дистрибутивность или ещё что. Да, мотивация "удобно", "практично" достаточная. Я не знаю, что тебя тут останавливает. Умножение чисел тоже вводят, потому что это просто удобно и практично.
У меня не было рассуждений "вот удобно взять ...", а были "попробуем вычислить, получили, случайно, такую-то штуку, у неё есть альтернативы, но они хуже"
>ты сам легко отказался от линейности в комплексном случае..
Вообще-то линейность там сохраняется для всего, кроме домножения на скаляр второго аргумента, там просто нужно примнеить сопряжение. (u, kw) = k(u,w). Все остальные свойства привычны. Если бы и они отваливались, то скорее бы всего хуй забили на это определение, потому что неудобно.
>ок: дело в том, что если ты возьмёшь синус, у тебя не станет длин. ни интуитивных, никаких. вообще
Если ты как полиформу определишь, да, но на школьном-координатном уровне такой проблемы нет, ты длины можешь Пифагором вычислить. Бтв, я же просил без сонаправленности и пр. related вещей.
>нет, с модулем никакой проблемы нет. поле здесь не при чём
У тебя результат лежит в поле. Не для всех полей есть "модуль". Например для конечных полей нету.
>плохо ты думаешь. зафиксирую базис, запишу параметризацию дуги в координатах...
Продемонстрируй и реши вконце пример, что я задал. Если ты этого не сделаешь, на твоё сообщение я отвечать не буду и покину тред.
>да, интеграл, зато не зависит от дополнительной структуры
Зависит от меры. Без нормы же как раз можно обойтись.
>не знаю, по-моему, у тебя не получилось модифицировать.
Справа геометричная запись через длины и углы. Можешь вместо e косинус/синус использовать.
>ты объясняешь ссылками на "удобство" и "интуицию", как будто это что-то объясняет
Опиши, какое объяснение ты бы хотел видеть. Мне достаточно того 1) удобная связь между геометрией и координатами 2) что я видел, как эту формулу получить из более простых/известных заранее, "вывести".
>Ещё раз. Я хочу найти углы и длины из координат.
замечательно, ты нашёл, воспользовался косинусом суммы. ну и что? ради чего называть это "нетривиальной операцией"? из-за линейности? жалко берёшь
>Я не знаю, что тебя тут останавливает.
то, что ты не раскрыл суть и смысл явления. ты лишь объявил "а вот удобная формула, и косинус в ней вместо синуса, потому что он лучше". разве это объяснение? разве это понимание? а по-другому можно? а как?
>получили, случайно, такую-то штуку
ну надо же какая случайость. вот взяла и появилась такая штука, вот это да. чего только не случается
>у неё есть альтернативы
а какие альтернативы? хоть одну бы написал
>да, но на школьном-координатном уровне такой проблемы нет, ты длины можешь Пифагором вычислить
не ты ли мне сказал, что скалярное произведение ПОЗВОЛЯЕТ определить угол? так вот, если бы там был синус, оно бы не позволило. мы с тобой никак не можем определиться, что уже задано (зафиксировано), а что нет. пятый раз пишу об этом, лол.
>У тебя результат лежит в поле. Не для всех полей есть "модуль". Например для конечных полей нету.
а твоё скалярное произведение для векторных пространств над конечными полями есть? вот это вот - cos(t)|u||v|. ну что ты мне пропихнуть пытаешься?
>Продемонстрируй и реши вконце пример, что я задал. Если ты этого не сделаешь, на твоё сообщение я отвечать не буду и покину тред.
>Зависит от меры. Без нормы же как раз можно обойтись.
ой, как задушнил-то. я тебе дал КАНОНИЧЕСКОЕ определение угла для нормированного пространства, которое никаких скалярных произведений не требует вообще. если ты хоть немного знаешь математику, ты бы мог ответить что-нибудь в духе: ВОТ ОТКРЫТИЕ! СКОЛЬКО МОЖНО СДЕЛАТЬ ТЕПЕРЬ! КАКИЕ ИНТЕРЕСНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДОКАЗАТЬ!
но почему-то никто этим определением не интересуется...
почему? неужели всех смущает какой-то жалкий интеграл? да там же целая геометрия лежит, бери и изучай! нет, отвечать не буду, уйду из треда... нечего ответить - уходи, конечно
>Опиши, какое объяснение ты бы хотел видеть. Мне достаточно того
ну раз тебе достаточно, о чём можно тебя просить? я просто указал на ряд пробелов в твоём изложении, а там дело твоё, как относиться
>что я видел, как эту формулу получить из более простых/известных заранее, "вывести".
очень бы хотелось, чтобы ты перестал то невнятное, "случайное" рассуждение (по сути просто подгон к известному ответу) называть "получил" или "вывел". не стоит высокие смыслы этих важных слов пятнать подобной несуразицей
>Вообще-то линейность там сохраняется для всего, кроме
наплевать на линейность. там ГЕОМЕТРИЯ лежит, вот что важно. возьмёшь билинейную форму - будет одна геометрия, возьмёшь полуторолинейную форму - будет другая. и они РАЗНЫЕ. вот что интересно, а не "линейность не сохранилась но зато почти!". тьфу
Не пойму
То ли случилось невероятное и мелкоанона пробило на эмоции, то ли кто-то ларпит
Интуитивно ставлю на второе, лол
мимо
>ты нашёл, воспользовался косинусом суммы. ну и что?
Формула удобно связывает геометрию, длины и угол, с координатами. Предлагаю тебе от рядов отказаться, ведь это просто удобство, чтобы вычислять алгебраически значения функций, ряд это связь анализа с алгеброй. А для тебя этой причины недостаточно, ведь до рядов было уже куча кустарных методов вычисления.
>ради чего называть это "нетривиальной операцией"
Формула связывает в простой форме геометрию с дрочкой координат.
>из-за линейности? жалко берёшь
Нет. Формула связывает, в простой форме, геометрию с координатами. Да, можно получить аналогичную формулу с синусом, но проебывается например симметрия. Можно взять модуль, тогда ломается дистрибутивность. Тогда косинус просто удобнее.
>разве это объяснение? разве это понимание? а по-другому можно? а как?
Да, ты можешь взять другие триг формулы, но у них не было бы желаемых свойств. Потому любим и обожаем косинус.
>не ты ли мне сказал, что скалярное произведение ПОЗВОЛЯЕТ определить угол? так вот, если бы там был синус, оно бы не позволило. мы с тобой никак не можем определиться, что уже задано (зафиксировано), а что нет. пятый раз пишу об этом, лол.
Изначаль шла речь о "скалярном произведении для школьницы 7 класса". Что школьница знает, координаты, Пифагор, тем и пользуемся.
>а твоё скалярное произведение для векторных пространств над конечными полями есть? вот это вот - cos(t)|u||v|. ну что ты мне пропихнуть пытаешься?
Нет, нету, для определения на векторных пространтсвах мы смотрим, какими свойствами это формула обладает, а далее задаем функцию аксиоматически. Можно прямо так и определить - скалярное произведение на V это такая форма B(. , .), что её свойства совпадают с cos(t)|u||v| заданной на R^n. У этого определения конечно есть проблемы, но при первом знакомстве пойдёт.
>ой, как задушнил-то. я тебе дал КАНОНИЧЕСКОЕ определение угла...
А угол то где, ты нашёл его?
>ну раз тебе достаточно, о чём можно тебя просить? я просто указал на ряд пробелов в твоём изложении
Эти пробелы не пробелы, ты надумываешь и цепляешься даже к очевидным опечаткам.
>тьфу
Рекомендую тебе вернуться к Скала-программию, или откуда ты там вышел.
>Формула удобно связывает
>Формула связывает в простой форме
>Нет. Формула связывает, в простой форме,
>Тогда косинус просто удобнее.
я понял тебя. ты действительно ничего, кроме этого, не видишь
>Предлагаю тебе от рядов отказаться
интересная всё-таки манера накидать в обсуждение посторонних вещей
>Изначаль шла речь о "скалярном произведении для школьницы 7 класса".
хорошее оправдание, чтобы выкинуть логику повествования
>Нет, нету
ну и зачем было тащить? ты бы лучше принёс пример, когда у меня что-то фундаментально ломается, а у тебя нет.
>мы смотрим, какими свойствами это формула обладает, а далее задаем функцию аксиоматически
в конечном итоге это во многом правильно, только свойства фиксируются не рандомно и не по "интуиции"
>А угол то где, ты нашёл его?
это чудесно, конечно. я дал тебе корректное нетривиальное каоническое определение, а ты отвечаешь мне вот так.
т.е. ты, наверно, чувтсвуешь слегка, что там что-то не то, потому что ты такое определение ни в каком учебнике не видел, но подумать об этом уже не в состоянии. сначала вообще проигнорировал
вообще занимательная вещь: последние времена все мои собеседники отказываются не только от малейшего мыслительного напряжения, но даже и от простого любопытства
>Эти пробелы не пробелы
как я и сказал, как относиться, дело твоё. мне не жалко
>цепляешься даже к очевидным опечаткам.
нет. у тебя с содержанием проблемы
>Рекомендую тебе вернуться к Скала-программию, или откуда ты там вышел.
и мне это пишет человек, который непоколебимо доказывает, что понятие скалярного произведения не интересно ничем, кроме удобства, а так же запросто выкидывает каноническую конструкцию, просто потому что с ней ему уже удобно не так (добавляя где-то по ходу дела, что во и всей математике так).
да. мельчаем.
>ты такое определение ни в каком учебнике не видел
Но вот, кстати, очень похожую штуку для конечномерного случая ведь должен же был видеть, не?
я лично никогда не видел обсуждения такой конструкции.
конечномерный случай здесь задан автоматом, поскольку речь идёт о пространстве, порождённым двумя векторами
>и мне это пишет человек, который непоколебимо доказывает...
Ты не можешь улавливать контексты, я не видел ни одного математика с такой болезнью, зато программистов много.
>нет. у тебя с содержанием проблемы
Я не понимаю, почему ты ожидаешь пересказ главы "евклидовы пространства" из любого учебника линейки.
Перечитай шапку треда. Речь о 7-класснице. Ты можешь ей просто дать формулу скалярн. произв. Но эта формула будет выглядеть появившейся из ниоткуда. А можешь вывести, подобно мне, из косинуса разности, постепенно, сначал введя аргумент вектора. Вопросы почему не синус, тангенс итд паррируются коммутативностью, модуль дистрибутивностью.
Для студентов вводим: скалярное произведение это аналог скалярного из школы. Но тк мы не можем выписать всех свойств, выпишем основные. Дальше дефолтный материал которы идет под главами "евклидовы пространства" или "inner product spaces". Тут можно немножко упомянуть, что синус мы не могли взять в качестве образца, тк. не осилили бы длины. Зато появляются площади. Кстати, площади в этом случае получаются и отрицательные. И тут как раз выбор либо житейский здравый смысл, берем модуль, либо прагматичность и удобство, забиваем на него. Исторически выбрали удобство и пожали плоды в будущем, не зная о них заранее. Вообще это твоя проблема, что ты рассуждаешь с позиции знающего последствия, я же форшу позицию сиюмитную, не заглядывающую в будущее для оправдания действий сегодняшних. В реальной жизни далеко идущих последствий ты знать не можешь, так что это манямирковая позиция и место ей в утиле.
>это чудесно, конечно. я дал тебе корректное нетривиальное каоническое определение, а ты отвечаешь мне вот так.
Пример решил?
>хорошее оправдание, чтобы выкинуть логику повествования
Логика там есть. Школьница знает тригонометрические функции и пифагора. Можем получить скалярное произведение из них, с которым удобнее работать.
>я понял тебя. ты действительно ничего, кроме этого, не видишь
Зачем мне переписывать содержание "евклидовы пространства" из любого учебника сюда? Ты этот материал знаешь, а для школьницы он окажется слишком тяжелым.
>я не видел ни одного математика с такой болезнью
зря ты это начал. я могу с тем же успехом сказать, что ты демонстрируешь узость мышления, ограниченность кругозора и упортсво в глупостях, какие не у всякого программиста обнаружишь. и не тебе рассказывать про болезни вестимо
>Я не понимаю, почему ты ожидаешь пересказ главы "евклидовы пространства" из любого учебника линейки.
я ничего не ожидаю. но твой рассказ плохой
>Ты можешь ей просто дать
>А можешь вывести, подобно мне
здесь ты обсуждаешь два способа рассказать про формулу u.v = cos(a-b)|u||v|
1. объявим по определению скалярное проезведение u.v равным cos(a-b)|u||v| и докажем, что u.v = xx' + yy'
2. докажем, что cos(a-b)|u||v| = xx' + yy' и объявим левую часть u.v (скалярным проезведением)
разница между этим двумя подходами в том, что в первом подходе ты даёшь определение, а потом объясняешь, почему оно может нравиться (потому что выражает левую часть хорошего тождества)
во втором подходе, если следовать>>128129, ты начинаешь с каких-то рисунков, несуразицы про чётные пары, рассуждений про "неплохо бы определить понятия", которые вроде как уже определены (или нет - до конца так и не разобрались), обещаний "будет ясно дальше" и чёрт знает чего ещё, а после внезапно объявляешь: Я ВЫВЕЛ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
как бы то ни было, позволю выразить себе мнение, что оценка "взял ниоткуда" одинакова применима к обоим подходам. потому что ну назвали левую часть какого-то тождества "скалярным произведением", ну и что? это не ответ на вопрос что такое скалярное произведение и никакого понимания не добавляет. может быть, свою 7-классницу ты и сумеешь таким образом обмануть, но достижение такое себе
>Пример решил?
во-первых, твой "пример" поставлен некорректно, во-вторых, здесь важно совершенно другое - и я указал, что именно. дубовое упортсво, с которым ты это игнорируешь, указывает не на меня
> Можем получить скалярное произведение из них, с которым удобнее работать.
ты получил из них некоторое тождество, а не скалярное произведение.
слова "вывел" и "получил" неприменимы к твоему рассказу.
>Зачем мне переписывать содержание "евклидовы пространства" из любого учебника сюда?
тебе вообще сюда писать незачем.
но на исходный вопрос ты не ответил
вернее ответ "скалярное произведение это такое выражение, которое удобно выражается и через координаты, и через длины с углами" очень слабый по существу
Затем можно найти проекцию одного вектора на другой и косинус как отношение проекции к длине гипотенузы. Ну и сказать мол длины и углы так и вводим в R^n, Коши-Шварца доказать и т.д...
Просто школьникам же "хорошесть" свойств как-то не очень любопытна, а в лоб эти косинусы разности расписывать в координатах это совсем жуть. А в вышеописанном подходе как будто бы есть баланс.